Лекция · 2.2

Ондық санау жүйесінен екілік жүйеге және кері ауыстыру

Өткен сабақта білдік: компьютер тек 0 мен 1-ді «түсінеді». Бірақ адам ретінде біз есептеулерді ондық жүйеде жасаймыз. Демек, компьютер мен адамның арасында үнемі «аудармашы» керек — сандарды бір жүйеден екіншісіне ауыстыру алгоритмі. Бүгін дәл осы алгоритмді қадам-қадаммен үйренеміз.

Ондық санды екілікке ауыстыру

Ондық санды екілік жүйеге ауыстыру үшін қандай әдіс қолданылады? Жауабы қарапайым — санды ретімен 2-ге бөлу.

Алгоритм
1. Санды 2-ге бөліп, қалдықты жазып отыр.
2. Бөлінді 2-ден кіші немесе оған тең болғанша қайталай бер.
3. Қалдықтарды СОҢҒЫСЫНАН БАСТАП (кері тәртіппен) жазу — жауап осы.
Есеп (оңай): 15 санын екілікке ауыстыру

Неге кері тәртіппен жазамыз? Әр бөлу қадамы санның ЕҢ ТӨМЕНГІ разрядын анықтайды, сондықтан ең соңғы қалдық — ЕҢ ЖОҒАРҒЫ разряд болады.

15 : 2 = 7 қалдық 1
7  : 2 = 3 қалдық 1
3  : 2 = 1 қалдық 1
1  : 2 = 0 қалдық 1

Жауабы: қалдықтарды төменнен жоғары қарай оқып: 15₁₀ = 1111₂

Есеп (оңай): 25 санын екілікке ауыстыру
25 : 2 = 12 қалдық 1
12 : 2 = 6  қалдық 0
6  : 2 = 3  қалдық 0
3  : 2 = 1  қалдық 1
1  : 2 = 0  қалдық 1

Жауабы: 25₁₀ = 11001₂

Бөлшек сандарды ауыстыру

Ал бөлшек санмен (мыс. 0,625) не істейміз? Мұнда бөлу емес, керісінше — КӨБЕЙТУ қолданылады, әрі нәтиже кері емес, ТУРА тәртіппен оқылады.

Алгоритм
Бөлшек бөлікті ретімен 2-ге көбейт, әр қадамда шыққан БҮТІН бөлікті (0 немесе 1) жазып отыр, ал қалған бөлшек бөлікті келесі қадамға жалғастыр.
Есеп (орта): 0,625 санын екілікке ауыстыру
0,625 × 2 = 1,250 → бүтін бөлік 1
0,250 × 2 = 0,500 → бүтін бөлік 0
0,500 × 2 = 1,000 → бүтін бөлік 1

Жауабы: бүтін бөліктерді ТУРА ретімен жазып: 0,625₁₀ = 0,101₂

Ал егер сан аралас болса (мыс. 30,25 — бүтін ЖӘНЕ бөлшек бөлігі бар болса), онда екі бөлікті БӨЛЕК-БӨЛЕК есептеп, нәтижесін үтірмен қосамыз.

Есеп (қиын): 30,25 санын екілікке ауыстыру

Бүтін бөлігі (30, бөлу әдісімен): 30:2=15 қал.0, 15:2=7 қал.1, 7:2=3 қал.1, 3:2=1 қал.1, 1:2=0 қал.1 → 11110₂

Бөлшек бөлігі (0,25, көбейту әдісімен): 0,25×2=0,50 бүтін 0; 0,50×2=1,00 бүтін 1 → 0,01₂

Жауабы: екеуін біріктіріп: 30,25₁₀ = 11110,01₂

Екіліктен ондыққа — керісінше жол

Керісінше бағытта — екілік санды ондыққа ауыстыру үшін БӨЛУ ЕМЕС, ал әр разрядты 2-нің дәрежесіне көбейтіп ҚОСУ керек. Жалпы формула:

Формула
aₙ₋₁·pⁿ⁻¹ + ... + a₁·p¹ + a₀·p⁰ + a₋₁·p⁻¹ + ... — мұндағы p — санау жүйесінің негізі, a — сол разрядтағы цифр.
Есеп (оңай): 1001₂ санын ондыққа ауыстыру

Неге дәрежелерге көбейтеміз? Позициялық жүйеде әр разрядтың «салмағы» бар — оң жақтан бастап 2⁰, 2¹, 2², т.с.с. Разрядты 0-ден бастап оңнан солға нөмірлейміз.

   3 2 1 0  ← разряд нөмірі
   1 0 0 1  ← 1001₂

1001₂ = 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 8+0+0+1

Жауабы: 1001₂ = 9₁₀

Есеп (орта): 1101,11₂ бөлшек санын ондыққа ауыстыру

Ескеру: үтірден кейінгі разрядтар — теріс дәреже (2⁻¹, 2⁻², ...).

1101,11₂ = 1·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰+1·2⁻¹+1·2⁻² = 8+4+0+1+0,5+0,25

Жауабы: 1101,11₂ = 13,75₁₀

🧮
Өзің тексер: 111100110₂ санын дәрежелер бойынша қосқанда 256+128+64+32+16+0+0+2+0 = 498 шығады. Есеп жинағында бұл жауап кейде 486 деп қате басылған кездеседі — есептеуді әрдайым өзің тексеріп, формула бойынша қайта санап шыққан дұрыс.
🎯 ҰБТ байланысы
Санау жүйелерін ауыстыру — ҰБТ-де ЕҢ ЖИІ кездесетін есеп түрлерінің бірі.
1
Ондықтан екілікке — БӨЛУ, қалдықтарды КЕРІ тәртіппен оқу.
2
Бөлшек бөлікті ауыстырғанда — КӨБЕЙТУ, бүтін бөліктерді ТУРА тәртіппен оқу.
3
Екіліктен ондыққа — разрядты 2-нің дәрежесіне көбейтіп ҚОСУ, разряд нөмірлеуін 0-ден бастауды ұмытпау.
Сабақ қорытындысы
  • Ондықты екілікке: бүтін бөлікті 2-ге бөліп, қалдықтарды кері тәртіппен оқу.
  • Бөлшекті екілікке: бөлшек бөлікті 2-ге көбейтіп, бүтін бөліктерді тура тәртіппен оқу.
  • Аралас санда бүтін және бөлшек бөлік бөлек есептеліп, үтірмен біріктіріледі.
  • Екілікті ондыққа: әр разрядты 2-нің сәйкес дәрежесіне көбейтіп қосу.